GOPHERSPACE.DE - P H O X Y
gophering on sdf.org
%% LyX 2.3.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[english]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{babel}
\begin{document}
\title{Solving an Irrational Equation}
\author{Amit Yaron}
\date{June 10, 2021}

\maketitle
Wow, I see a sum of too cubic roots with square root inside. It looks
like a solution of a cubic equation using Cardano's formula. But under
the inner radical, there's x''. RHS is a constant. On YouTube
the length of the video clip is about 14 minutes. When there is a
number instead of x'', you can cube both sides and then form a
cubic equation solvable by searching for a rational root. Here we
do not need to solve a cubic equation. Let us solve it quickly with

So, our equation is:

$\sqrt{9+\sqrt{x}}+\sqrt{9-\sqrt{x}}=3$

Solve by cubing both sides using the formula:

$(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$

If we take

$\begin{cases} a= & \sqrt{9+\sqrt{x}}\\ b= & \sqrt{9-\sqrt{x}} \end{cases}$

Then

$\begin{cases} a^{3}= & 9+\sqrt{x}\\ b^{3}= & 9-\sqrt{x}\\ ab= & \sqrt{(9-\sqrt{x})(9+\sqrt{x}}\\ a+b= & 3 \end{cases}$

Good! Now:

\begin{align*}
9+\sqrt{x}+9-\sqrt{x}+9\sqrt{81-x} & =27\Rightarrow\\
\Rightarrow18+9\sqrt{81-x} & =27\Rightarrow\\
\Rightarrow9\sqrt{81-x} & =9\Rightarrow\\
\Rightarrow\sqrt{81-x} & =1\Rightarrow\\
\Rightarrow81-x & =1\Rightarrow\\
\Rightarrow & x=80
\end{align*}

You can verify it using a calculator or a short expression in your
favorite scripting language's CLI. GNU Octave is a great one. Following
is the expression:
\begin{quotation}
cbrt(9+sqrt(80))+cbrt(9-sqrt(80))
\end{quotation}
The output is:
\begin{quotation}
ans = 3.0000
\end{quotation}

\end{document}