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\begin{document}
\title{Solving $16^{\frac{x-1}{x}}\cdot5^{x}=100$}
\author{Amit Yaron}
\maketitle
\begin{abstract}
Well, another equation found on YouTube. I want to show you how to
find solution without the ads. There is an integer solution you can
find easily because:

$16=2^{4}$ and $100=2^{2}\cdot5^{2}.$So, if we take $x=2$, you'll
see that:

$16^{\frac{2-1}{2}}\cdot5^{2}=16^{\frac{1}{1}}cdot5^{2}=100$. Let
us find other solutions.
\end{abstract}
Solutions of exponential equations can be found by taking logs:

$\log(16^{\frac{x-1}{x}}\cdot5^{x})=\log(100)\Rightarrow$

$\Rightarrow\log(16^{\frac{x-1}{x}})+\log(5^{x})=2\Rightarrow$

$\Rightarrow\frac{x-1}{x}\log(16)+x\log(5)=2\Rightarrow$

$\Rightarrow(x-1)\log(16)+x^{2}\log(5)=2x\Rightarrow$

$\Rightarrow x^{2}\log(5)+[\log(16)-2]x-\log(16)=0$\\

This is a quadratic equation. One solution is $x=2$, and according
to the Vieta's formulas, the product of roots is:

$-\frac{\log(16)}{\log(5)}$\\

So, the other solution is:

$x=-\frac{\log(16)}{2\log(5)}=-\frac{4\log(2)}{2\log(5)}=-\frac{2\log(2)}{\log(5)}\approx-0.8614$
\end{document}